Question

已知函數，當時，函數f（x）有極大值．
（Ⅰ）求實數b、c的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b，利用當時，函數f（x）有極大值，建立方程，即可求得實數b、c的值；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，分類討論，求出函數的最大值，即可求實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b
∵當時，函數f（x）有極大值，
∴f′（）=-++b=0，f（）=-++c=，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，
①-1≤x＜1時，f′（x）=-3x（x-），函數在（-1，0）上單調遞減，在（0，）上單調遞增，在（，1）上單調遞減
∵f（-1）=2，f（）=，∴-1≤x＜1時，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1時，f′（x）=，
1°、a＞0，函數在[1，2]上單調遞增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴或，∴＜a≤或0＜a≤；
2°、a≤0，函數在[1，2]上單調遞減，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
綜上，實數a的取值范圍是a≤．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的絕對值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．