Question

如圖，現要在一塊半徑為1m，圓心角為

π

3

的扇形紙報AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在弧AB上，點Q在OA上，點M、N在OB上，設∠BOP=θ，平行四邊形MNPQ的面積為S．
（1）求S關于θ的函數關系式；
（2）求S的最大值及相應的θ角．

Answer 1

分析：（1）分別過P、Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，則QEDP為矩形，求出邊長即可求S關于θ的函數關系式；
（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，通過θ的范圍求出S的最大值及相應的θ角．

解答：解（1）分別過P、Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，則QEDP為矩形（2分）
由扇形半徑為1cm，PD=sinθOD=cosθ
在Rt△OEQ中OE=

3

3

QE=

3

3

PD
MN=OD-OE=cosθ-

3

3

sinθ（4分）
S=MN•PD=(cos-

3

3

sinθ)•sinθ=sinθcosθ-

3

3

sin2θθ∈(0，

π

3

)（6分）
（2）S=

3

3

sin(2θ+

2

6

)-

3

6

（9分）
2θ+

π

6

∈(

2

6

，

5π

6

)，sin(2θ+

π

6

)∈(

1

2

，1]
當θ=

π

6

時，Smax=

3

6

(m2)（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數在解決實際問題中的應用，三角函數的化簡求值，考查計算能力，轉化思想的應用．