Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一動點（可以與A₁或B₁重合），過D₁和C₁C的平面與AB交于D．
（Ⅰ）證明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D₁為A₁B₁的中點，求三棱錐B₁-C₁AD₁的體積VB1-C1AD1；
（Ⅲ）求二面角D₁-AC₁-C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證CB∥平面AB₁C₁只需尋找在平面AB₁C₁內尋找一直線與CB平行，根據直三棱的定義可知CB∥C₁B₁問題得證；
（2）三棱錐B₁-C₁AD₁的體積VB1-C1AD1，可轉化成求三棱錐C₁-B₁AD₁的體積，此時高為C₁D₁；
（3）當D₁與A₁重合時，二面角D₁-AC₁-C的大小為π，當D₁與B₁重合時，分別延長A₁C₁和AC₁，過B₁作B₁E⊥A₁C₁延長于E，過點E作EF⊥A₁C₁，垂直為F，連接FB₁，∠B₁FE是所求二面角的平面角，在三角形B₁FE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：依條件有CB∥C₁B₁，
又C₁B₁?平面AB₁C₁，
CB?平面AB₁C₁，
所以CB∥平面AB₁C₁．（3分）
（Ⅱ）解：
因為D為AB的中點，
依條件可知；C₁D₁⊥A₁B₁．
所以VB1-C1AD1
=

1

3

×C₁D₁×（

1

2

×A₁A×D₁B₁）
=

1

3

×

1

2

×（

1

2

×1×

3

2

）=

3

24

．（7分）
（Ⅲ）解：
因為D₁是A₁B₁上一動點，
所以當D₁與A₁重合時，二面角D₁-
AC₁-C的大小為π；（9分）
當D₁與B₁重合時，
如圖，分別延長A₁C₁和AC₁，
過B₁作B₁E⊥A₁C₁延長于E，
依條件可知平面A₁B₁C₁⊥平面
ACC₁A₁，
所以B₁E⊥平面ACC₁A₁．
過點E作EF⊥A₁C₁，垂直為F．
連接FB₁，
所以FB₁⊥A₁C₁．
所以∠B₁FE是所求二面角的平面角．（11分）
容易求出B₁E=

3

2

，FE=

2

4

．
所以tan∠B₁FE=

B1E

FE

=

6

．
所以∠B₁FE=arctan

6

．（或arccos

7

7

）
所以二面角D₁-AC₁-C的取值范圍是[arctan

6

，π]（或[arccos

7

7

，π]）．（13分）

點評：本小題主要考查直線與平面平行，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積和二面角及其度量等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．