Question

（本小題滿分14分）

已知函數在上有定義，對任意實數和任意實數，都有.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數）；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）

（Ⅲ）在區間內單調遞減, 在區間（）內單調遞增.

【解析】本小題主要考查函數的概念、導數應用、函數的單調區間和極值等知識，考查運用數學知識解決問題及推理的能力。

（1）對于任意的a>0，，均有  ①在①中取

(2) 令時，∵，∴，則

而時，，則

而，    ∴，即成立

賦值法得到結論。

（3）由（Ⅱ）中的③知，當時，，

分析導數得到單調區間。

（Ⅰ）證明：對于任意的a>0，，均有  ①

  在①中取

  ∴  ②

（Ⅱ）證法一：當時，由①得   

 取，則有     ③

        當時，由①得 

        取，則有    ④

 綜合②、③、④得;

證法二:

令時，∵，∴，則

而時，，則

而，    ∴，即成立

令，∵，∴，則

而時，，則

即成立。綜上知

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當時，，

從而

又因為k>0，由此可得

	－	0	+
	↘	極小值2	↗

所以在區間內單調遞減，在區間（）內單調遞增。

解法2：由（Ⅱ）中的③知，當時，，

設    則

又因為k>0，所以

（i）當 ；

（ii）當

所以在區間內單調遞減, 在區間（）內單調遞增.