Question

【題目】對于定義域為[0，1]）的函數f（x），如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f （1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則稱函數f（x）為理想函數．

（1）判斷函數g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否為理想函數，并予以證明；

（2）若函數f（x）為理想函數，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））＝x0，求證f（x0）＝x0．

Answer 1

【答案】（1）g（x）為理想函數；見解析（2）見解析

【解析】

(1)根據理想函數滿足的條件逐個判斷即可.

(2)利用條件③中的性質,再利用反證法證明即可.

（1）顯然g（x）＝2x﹣1在[0,1]滿足條件①g（x）≥0,也滿足條件②g（1）＝1,

若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,

則

,滿足條件③,

故g（x）為理想函數；

（2）證明：由條件③知,任給m,n∈[0,1],當m＜n時,由m＜n知,n﹣m∈[0,1],

∴f（n）＝f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）,

若x0＜f（x0）,則f（x0）≤f[f（x0）]＝x0,矛盾；

若x0＞f（x0）,則f（x0）≥f[f（x0）]＝x0,矛盾；

故x0＝f（x0）.