Question

設(shè){a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和．
（1）若a₁=4，且

S3

3

和

S4

4

的等比中項(xiàng)是

S5

5

，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在p，q∈N^*，且p≠q，使得S_p+q是S_2p和S_2q的等差中項(xiàng)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先由

S3

3

和

S4

4

的等比中項(xiàng)是

S5

5

求得d，再求解通項(xiàng)公式；
（2）由S_p+q是S_2p和S_2q的等差中項(xiàng)整理化簡(jiǎn)，為（p-q）d=0，再由條件分析．

解答：解：（1）∵

S3

3

和

S4

4

的等比中項(xiàng)是

S5

5

∴(

s5

5

)2 =

s3

3

•

s4

4

又∵a₁=4
∴d=2.4
（2）不存在
∵S_p+q是S_2p和S_2q的等差中項(xiàng)
∴2S_p+q=S_2p+S_2q
∴整理得（p-q）d=0
∵p≠q，d≠0
∴不存在

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合運(yùn)用的能力．