Question

性質p：對于任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)≥2f(

x+y

2

)．則以下函數中具有性質p的是（　　）

A．y=lgx

B．y=3^-x

C．y=x³

D．y=-x²

Answer 1

分析：當f（x）=lgx時，f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy≤2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2；當f（x）=3-x=(

1

3

)x時，f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

=2f（

x+y

2

）；當f（x）=x³時，f（x）+f（y）=x³+y³≤2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

；當f（x）=-x²時，f（x）+f（y）=-x²-y²≤2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

．

解答：解：當f（x）=lgx時，
f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy，
2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2，
∵xy≤(

x+y

2

)2，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故A不具有性質P．
當f（x）=3-x=(

1

3

)x時，
f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

，
2f（

x+y

2

）=2•(

1

3

)

x+y

2

=2

( 1 3 )x+y

，
∴f（x）+f（x）≥2f（

x+y

2

），
故B具有性質P．
當f（x）=x³時，
f（x）+f（y）=x³+y³，
2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故C不具有性質P．
當f（x）=-x²時，
f（x）+f（y）=-x²-y²，
2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故D不具有性質P．
故選B．

點評：本題考查不等式的大小比較，解題時要認真審題，注意對數函數、指數函數、冪函數的圖象和性質的應用，恰當地運用均值定理和基本不等式進行解題．