Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判斷在線段AC上是否存在點Q，使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點Q，并求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面、面面垂直的判定和性質及三棱錐的體積計算公式即可得出；
（2）可以建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出二面角的兩個平面的法向量的夾角，進而即可得出二面角的大小；
（3）先假設存在，分以下三種情況討論：當∠PQB=90°時，當∠PBQ=90°時，當∠BPQ=90°時，利用向量的數量積與垂直的關系即可判斷出．
解答：解：（1）如圖，過P作PO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC．
在△APC中，∠APC=90°，AC=2PA=4，∴∠PAC=60°，∴PO=APsin60°=，AO=1．
∴三棱錐P-ABC的體積V===4．
（2）取AC，AB的中點分別為M，N，連接BM，ON．
在等邊△ABC中，∵O、N分別為AM、AB的中點，∴ON∥BM，∴ON⊥AC．
由（1）可知：PO⊥平面ABC，∴PO⊥ON，PO⊥OC，因此可以建立如圖所示的空間直角坐標系．
A（0，-1，0），B（，1，0），C（0，3，0），P（0，0，）．
∴，．
設=（x，y，z）為平面PAB的一個法向量，則，．
∴，令，則x=1，z=1．∴．
∵x軸⊥平面APC，∴可以取作為平面APC的法向量．
設二面角B-AP-C的大小為θ，由圖可知．
∴cosθ===．
∴二面角B-AP-C的余弦值為．
（3）在線段AC上存在點Q，使得△PQB為直角三角形．
設Q（0，m，0）（-1≤m≤3）．
則，，．
①當∠PQB=90°時，則，得m（m-1）=0，解得m=0或1．
當m=0時，Q與O重合，△PQB為直角三角形，且；
當m=1時，Q與M重合，△PQB為直角三角形，且；
②當∠PBQ=90°時，則，得-12+m-1=0，解得m=13，不符合題意，應舍去；
③當∠BPQ=90°時，則，得m+3=0=0，解得m=-3，不符合題意，應舍去．
綜上可知：在線段AC上存在點Q，使得△PQB為直角三角形，且或．
點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定和性質、三棱錐的體積計算公式、通過建立空間直角坐標系利用二面角的兩個平面的法向量的夾角求出二面角的大小、分類討論的思想方法、向量的數量積與垂直的關系是解題的關鍵．