Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，），且離心率等于，過點M（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點（與點B不重合），橢圓與x軸的正半軸相交于點B．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，由題設條件求出b²和a²，由此可以求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，由此解得或．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根與系數和關系和，能夠求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為（1分）
因為它的一個頂點為A（0，），所以b²=2，由離心率等于，
得=，解得a²=8，
所以橢圓的標準方程為（4分）
（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
依題意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，解得或（2分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
且，由
得（2分）
于是，
整理得，
解得或，又，
但時，此時點Q與點B重合，舍去，所以直線l的方程是（3分）
點評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．