Question

a是實數，函數f（x）=2ax²+2x-3-a．如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，則a的取值范圍是

（-∞，

-3- 7

2

]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：先確定a≠0，將f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，轉化為

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，求出函數y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域，即可確定a的取值范圍．

解答：解：a=0時，不符合題意，所以a≠0，
∵f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，∴（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解
∴

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，
問題轉化為求函數y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域．
設t=3-2x，x∈[-1，1]，則2x=3-t，t∈[1，5]，
∴y=

1

2

（t+

7

t

-6），
設 g（t）=t+

7

t

，∴g′（t）=1-

7

t2

，t∈[1，

7

）時，g'（t）＜0，此函數g（t）單調遞減，
t∈（

7

，5]時，g'（t）＞0，此函數g（t）單調遞增，
∴y的取值范圍是[

7

-3，1]，
∴

1

a

∈[

7

-3，1]，
∴a≥1或a≤

-3- 7

2

．
故答案為（-∞，

-3- 7

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查二次函數在給定區間上的零點問題，解題的關鍵是分離參數，轉化為

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，屬于中檔題．