Question

已知a是實數，函數f（x）=x²（x-a）
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）a＞0，求f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數的幾何意義求切線方程．
（2）利用導數求函數的單調增區間．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax，
因為f′（1）=3-2a=3，所以a=0．
又當a=0時，f（1）=1，f′（1）=3，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y-2=0…（6分）
（2）令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，

2a

3

＞0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞

2a

3

，或x＜0，
即f（x）在（-∞，0），(

2

3

a，+∞)上單調遞增…（6分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的單調性．