Question

設函數f（x）=

a

3

x³+

b-1

2

x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定義域為R．當x=x₁時取得極大值，當x=x₂時取得極小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1]上是單調減函數；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求實數b的取值范圍．

Answer 1

法一  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
因為f（x）當x=x₁時取得極大值，當x=x₂時取得極小值．
所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
當且僅當

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-

b

2a

＞-1．
因為函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-

b

2a

）上是單調減函數，
所以函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1]上是單調減函數；
（Ⅱ）因為方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同號．
又|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．③
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則

f′(2)=4a+2b-1＜0 1-b＞0

所以4a+1＜2（1-b），
結合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞

1

12

或-a＜

1

4

．結合a＞0，得a＞

1

12

．
所以2（1-b）＞4a+1＞

4

3

，得b＜

1

3

．
所以實數b的取值范圍是（-∞，

1

3

）．
法二  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，
當且僅當

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

由①得，-b＞2a-

1

2

．
因為a＞0，所以-

b

2a

＞1-

1

4a

．③
由

-8a-4b+2＞0 16a+4b-3＞0

結合③，得-

b

2a

＞-1．
因為函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-

b

2a

）上是單調減函數，
所以函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1）上是單調減函數；
（Ⅱ）因為x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同號．
由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則x₂＞4．
所以

f′(2)=4a+2b-1＜0，④ f′(4)=16a+4b-3＜0，⑤

得b＜

1

2

．
又因為|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．
根據④⑤得

(b-1)2＜(1-2b)2+1-2b (b-1)2＜( 3 4 -b)2+ 3 4 -b

得

b＜ 1 3 或b＞1 b＜ 5 8

結合b＜

1

2

，得b＜

1

3

；
所以實數b的取值范圍是（-∞，

1

3

）．