Question

【題目】若f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）=log2017x，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，則方程f（x）=﹣2017在區(qū)間（1，10）內(nèi)的多有實(shí)數(shù)根之和為（ ）
A.0
B.10
C.12
D.24

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）是偶函數(shù)，

∴f（x+2）=f（﹣x+2），

∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

又f（x）是偶函數(shù)，

∴f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），

∴f（x）的周期為4，

作出f（x）在（0，10）上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=﹣2017在（1，10）上有4個(gè)零點(diǎn)，

其中兩個(gè)關(guān)于零點(diǎn)關(guān)于直線x=4對稱，另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于直線x=8對稱，

∴f（x）=﹣2017在（1，10）上的所有零點(diǎn)之和為4×2+8×2=24．

故選D．