Question

已知棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁及其三視圖尺寸如圖所示，P、Q分別為B′B，CB的中點．
（1）填寫棱臺各頂點字母，并證明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求BC與平面A′ADD′所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中幾何體中的三視圖，我們易得到函數的直觀圖，及各棱的長，進而判斷出A′B′CD為矩形，進而得到PQ∥A′D，由線面平行的判定定理，即可得到PQ∥平面AA′D′D；
（2）取AB中點M，連接DM，BC與平面AA′D′D所成角等于DM與平面AA′D′D所成角，即∠MDA為直線DM與磁面AA′D′D所成的角，解三角形MDA即可得到BC與平面A′ADD′所成的角的正切值．

解答：解：（1）字母如圖所示

…（2分）
∵梯形AA′D′D、AA′B′B、A′B′C′D′、ABCD均為直角梯形
且A′B′=DC=

1

2

AB=8，2D′C′=A′B′=DC
連接B′C，PD，則PQ∥B′C，A′B′CD為矩形
∴B′C∥A′D
∴PQ∥A′D
又∵PQ?平面AA′D′D，A′D?平面AA′D′D
∴PQ∥平面AA′D′D…（6分）
（2）取AB中點M，連接DM，則DM∥CD
∴BC與平面AA′D′D所成角等于DM與平面AA′D′D所成角
∵MA⊥面AA′D′D，
∴DM在平面AA′D′D的射影為DA
∴∠MDA為直線DM與磁面AA′D′D所成的角． …（9分）
∵AM=DC=8，AD=10
∴tan∠MDA=

4

5

即BC與平面AA′D′D所成的角的正切為

4

5

…（12分）

點評：本題考查的知識點是三視圖，直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中根據已知中的三視圖判斷出該幾何體的形狀和各棱的長度和平行及垂直關系，是解答本題的關鍵．