Question

已知棱臺ABCD-A′B′C′D′及其三視圖尺寸如圖所示，P、Q分別為B'B，CB的中點．
（1）填寫棱臺各頂點字母，并證明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求二面角B-DD′-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據翻折前后變與不變標出字母，欲證PQ∥平面A'ADD'，根據線面平行的判定定理可知只需PQ與平面A'ADD'內一直線平行即可，連接B'C、PQ，則PQ∥B'C，根據A'B'CD為矩形，則B'C∥A'D，從而PQ∥A'D又PQ?平面A'ADD'，A'D?平面A'ADD'，滿足定理所需條件；
（2）延長DD'，AA'，BB'交于一點G，作A'H⊥D'D于H，連接HB'，根據二面角平面角的定義可知∠B'HA'為二面角B-DD'-A的平面角，在Rt△B'HA'中，求出此角，即可求出二面角B-DD'-A的正切值．

解答：證明：（1）字母如圖所示．（2分）
∵梯形A'ADD'、A'ABB'、A'B'C'D'、ABCD均為直角梯形，
且A′B′=DC=

1

2

AB=8，2D'C'=A'B'=DC
連接B'C、PQ，則PQ∥B'C，又∵A'B'∥DC，且A'B'=DC，∴A'B'CD為矩形
∴B'C∥A'D，∴PQ∥A'D又PQ?平面A'ADD'，A'D?平面A'ADD'
∴PQ∥平面A'ADD'．（6分）

（2）延長DD'，AA'，BB'交于一點G，
∵B'A'⊥面ADG，作A'H⊥D'D于H，連接HB'，則HB'⊥DD'
則∠B'HA'為二面角B-DD'-A的平面角．（9分）
在Rt△D'A'G中，易得A'G=12，A'D'=5
∴

1

2

×A′H×D′G=

1

2

×5×12，即A′H=

60

13

∴tan∠B′HA′=

A′B′

A′H

=

26

15

．即二面角B-DD'-A的正切值為

26

15

．（13分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及二面角的度量，同時考查了空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于中檔題．