Question

（2010•青島一模）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（其中e為常數(shù)，e=2.71828…），若這兩個函數(shù)的圖象有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）當x∈[1，e]時，2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)≤(a+2)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2ex與g（x）=3e²lnx+b的圖象有公共點為（x₀，y₀），建立方程組，即可求得實數(shù)b的值；
（Ⅱ）原不等式可化為a（x-lnx）≥x²-2x，分離參數(shù)可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立，構(gòu)造F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，確定F（x）在[1，e]上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導數(shù)可得：f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

…（2分）
設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2ex與g（x）=3e²lnx+b的圖象有公共點為（x₀，y₀）
由題意得 

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0

…（4分）
解得：b=-

e2

2

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=3e2lnx-

e2

2

所以2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)=x2+alnx，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）
當x∈[1，e]時，lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立   …（9分）
設(shè)F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，則F′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

…（11分）
顯然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（僅當x=1時取等號），
∴F（x）在[1，e]上為增函數(shù) …（12分）
故F(x)max=F(e)=

e2-2e

e-1

所以實數(shù)a的取值范圍是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．