Question

經市場調查，某商場的一種商品在過去的一個月內（以30天計）銷售價格f（t）（元）與時間t（天）的函數關系近似滿足（k為正常數），日銷售量g（t）（件）與時間t（天）的函數關系近似滿足g（t）=125-|t-25|，且第25天的銷售金額為13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）試寫出該商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數關系式；
（Ⅲ）該商品的日銷售金額w（t）的最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由第25天的銷售金額為13000元，我們易得f（25）•g（25）=13000，將、g（t）=125-|t-25|代入易得K值．
（2）由（1）的結論，將K代入、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數關系式；
（3）由（2）的結論，判斷函數的單調性不難判斷函數的最小值，即該商品的日銷售金額w（t）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得f（25）•g（25）=13000，
即，解得k=1
（Ⅱ）
=
（Ⅲ）①當1≤t＜25時，因為，
所以當t=10時，w（t）有最小值12100
②當25≤t≤30時，∵在[25，30]上遞減，
∴當t=30時，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，∴當t=10時，
該商品的日銷售金額w（t）取得最小值為12100
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．