Question

設數列{a_n}的通項公式為，數列{b_n}滿足，（t∈R，n∈N^*）．
（1）試確定實數t的值，使得數列{b_n}為等差數列；
（2）當數列{b_n}為等差數列時，對每個正整數k，在a_k和a_k+1之間插入b_k個2，得到一個新數列{c_n}．設T_n是數列{c_n}的前n項和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數m．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定數列{b_n}的前3項，利用等差數列的定義，即可確定實數t的值；
（2）先確定c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，再分組求和，結合整除的性質，即可得到結論．
解答：解：（1）當n=1時，，得b₁=2t-4，
同理：n=2時，得b₂=16-4t；n=3時，得b₃=12-2t，則由b₁+b₃=2b₂，得t=3．…（2分）
而當t=3時，，得b_n=2n
由b_n+1-b_n=2，知此時數列{b_n}為等差數列．…（4分）
（2）由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…
則當m=1時，T₁=2≠2c₂=4，不合題意，舍去；
當m=2時，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，所以m=2成立； …（6分）
當m≥3時，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1，不合題意，舍去；
從而c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，則
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=，…（9分）
又，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，
所以2^k+1=k²+k=k（k+1）
因為2^k+1（k∈N^*）為奇數，而k²+k=k（k+1）為偶數，所以上式無解．
即當m≥3時，T_m≠2c_m+1
綜上所述，滿足題意的正整數僅有m=2．…（12分）
點評：本題考查等差數列的判定，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．