Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別是 (t是參數(shù))和 (φ為參數(shù)).以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；

(2)射線OM：θ＝α與曲線C1的交點為O，P，與曲線C2的交點為O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x，ρ＝2sin θ.（2）8

【解析】

(1)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；

(2)由(1)可得C1的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ，與直線θ=α聯(lián)立可得：ρ=，即|OP|=，同理可得|OQ|=2sinα．求出|OP||OQ|=，在α∈[，]上單調(diào)遞減，即可求|OP||OQ|的最大值．

(1)C1的普通方程為y2＝4x，C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ.

(2)由(1)可得C1的極坐標方程為ρsin2θ＝4cos θ，與直線θ＝α聯(lián)立可得：ρ＝，

即OP＝，

同理可得OQ＝2sin α.

所以|OP|·|OQ|＝＝，

令f(α)＝，

易知f(α)在α∈上單調(diào)遞減，

所以(|OP|·|OQ|)max＝＝8.