Question

【題目】定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的.如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點.橢圓的長軸長是4，橢圓短軸長是1，點分別是橢圓的左焦點與右焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）函數在上的最大值.

【解析】

【試題分析】

解：（1）當時， ，

令，得，

當變化時， 的變化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

由上表可知，函數的遞減區間為，遞增區間為.

（2），令，得，

令，則，所以在上遞增，

所以，從而，所以，

所以當時， ；當時， ；

所以.

令，則，令，則，

所以在上遞減，而，

所以存在使得，且當時， ；當時， ，所以在上單調遞增，在上單調遞減.

因為，所以在上恒成立，當且僅當時取得“=”.

綜上，函數在上的最大值.