Question

已知使函數f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數零點的實數a恰有3個，則M₀的取值范圍是________．

Answer 1

．
分析：通過對a分類討論，令f（x）=0，用x表示a，利用導數探究其單調性，找出取得整數零點的最小的三個、四個a 的值即可得出M₀的取值范圍．
解答：①當a=0時，f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1）存在一個整數零點-1，滿足條件；
②當a≠0時，∵x=0時，f（0）=1≠0，∴0不是函數f（x）的零點；
由f（x）=x³-ax²+1=0（x≠0）可得，
令g（x）=，則=，
令g^′（x）=0，解得，列表得：
由表格可知：g（x）在區間上單調遞減，
在區間（-∞，0），上單調遞增，
畫出圖象：
當x＜0且x≠-1時，函數f（x）不存在零點；
當時，只有一個整數零點x=1，此時a=2；
當x=時，不是整數零點應舍去；
當時，最小整數零點x=2，此時a=；
比2大1的整數零點是3，此時a=．
綜上可知：要滿足函數f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數零點的實數a恰有3個（即0，2，），則M₀的取值范圍是．
故答案為．
點評：熟練掌握分類討論的思想方法、利用導數探究函數的單調性是解題的關鍵．