Question

經過(0,2)、(1,3-2)、(,-1)三點,且對稱軸平行于y軸的拋物線D與x軸相交于A、B(B在A點右側)兩點,以該拋物線頂點C為圓心,以|CA|為半徑作圓C.

(1)求證:坐標原點O在圓C外;

(2)過點O作直線l,使直線l與⊙C在第一象限相切,求直線l與直線AC所成的角.

Answer 1

(1)證明:依題意,設拋物線D的方程為y=ax²+bx+c,

則

∴y=x²-2x+2=(x-)²-1.

∴拋物線D的頂點坐標為C(,-1),與x軸的交點為A(-1,0),B(+1,0).

又|AC|=,

故圓C的方程為(x-)²+(y+1)²=2.

∵(0-)²+(0+1)²=4＞2,

∴坐標原點O在圓C外.

(2)解:設直線l的方程為y=kx,即kx-y=0.

依題意得.

∴3k²+2k+1=2+2k²,

即k²+2k-1=0.

∴k=--2(舍)或k=-+2.

又k_AC==-1,

∴直線l與直線AC所成的角α滿足

tanα=| |

=.

∴α=.

故直線l與直線AC所成的角為.