Question

函數y=lnx關于直線x=1對稱的函數為f（x），又函數的導函數為g（x），記h（x）=f（x）+g（x）．
（1）設曲線y=h（x）在點（1，h（1））處的切線為l，l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數h（x）的單調區間；
（3）求函數h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求過（1，h（1））點的切線方程，根據l與圓（x+1）²+y²=1相切，利用點線距離等于半徑可求a的值；
（2）先求導函數，結合函數的定義域，利用導數大于0的函數的單調增區間，導數小于0得函數的單調減區間
（3）根據（2）中函數的單調區間，結合區間[0，1]進行分類討論，從而可求h（x）的最大值．
解答：解：（1）由題意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴，過（1，h（1））點的直線的斜率為a-1，
∴過（1，h（1））點的直線方程為y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圓心為（-1，0），半徑為1，
由題意得，解得a=1．
（2）．
∵a＞0，∴．
令h′（x）＞0，∴；
令h′（x）＜0，∴，
所以，是h（x）的增區間，是h（x）的減區間．
（3）①當，即時，h（x）在[0，1]上是減函數，
∴h（x）的最大值為h（0）=ln2．
②當，即時，，h（x）在上是增函數，在上是減函數，
∴當時，h（x）的最大值為．
③當，即a≥1時，h（x）在[0，1]上是增函數，
∴h（x）的最大值為h（1）=a．
綜上，當時，h（x）的最大值為ln2；
當時，h（x）的最大值為2a-1-lna；
當a≥1時，h（x）的最大值為a．
點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的單調區間與最值，分類討論是解題的關鍵與難點．