Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

c-an+1

（c為常數，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列
（2）求c的值
（3）設b_n=a_n•a_n+1，數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要證明數列{

1

an

}是等差數列，即要證明

1

an+1

-

1

an

是一個常數，對條件a_n+1=

an

c-an+1

取倒數即可證明結論；
（2）根據（1）的結論，可以求出數列{a_n}的通項公式，從而求得a₂，a₅，根據a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列，可得(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，解此方程即可求得結果；
（3）根據（2）求得c的值，并代入b_n=a_n•a_n+1，求出數列數列{b_n}的通項公式，利用裂項相消法即可求得S_n，從而證明結論．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1=

an

c•an+1

∴

1

an+1

=

c•an+1

an

=

1

an

+c
∴數列{

1

an

}是等差數列；
（2）由（1）知數列{

1

an

}是以1為首項，c為公差的等差數列，
∴

1

an

=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n=

1

cn+1-c

∴a₂=

1

c+1

，a₅=

1

4c+1

，
因為a₁，a₂，a₅成等比數列，
所以(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，
解得c=0或c=2．
當c=0時，a₁=a₂=a₅，不符合題意舍去，
故c=2；
（3）證明：由（2）知a_n=

1

2n-1

，b_n=a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

故S_n＜

1

2

．

點評：本題考查等差數列的判定方法和裂項相消法求數列的前n項和，利用a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列，求出c的值，是解題的關鍵，注意仔細審題，考查利用應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．