Question

某鄉農民年均收入服從μ=5 000元，σ=200元的正態分布.

(1)寫出此鄉農民年均收入的概率密度曲度函數式；

(2)求此鄉農民年均收入在5 000元～5 200元間的人數的百分比；

(3)如果要使此鄉農民的年均收入在(μ-a,μ+a)內的概率不小于0.95，則a至少為多大?

Answer 1

解析：設X表示此鄉農民的年均收入，由已知X～N(5 000，200²).

(1)f(x)=,

X∈(-∞，+∞)，

(2)P(5 000＜X＜5 200)

=Φ()-Φ()

=Φ(1)-Φ(0)=0.3 413.

這說明此鄉農民平均收入在5 000元—5 200元間的人數約為34%.

(3)令P(μ-a＜X＜μ+a)=Φ()-Φ(-)≥0.95，

則有Φ()-≥0.95,

∴Φ()≥0.975.

∵Φ(x)是增函數，故查表得()≥1.96,

a≥392.

所以，要使此鄉農民的年均收入在(μ-a,μ+a)內的概率不小于0.95，則a不能小于392.