Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分別是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中點．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求EF的長，并求異面直線PQ，EF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，CD₁，由P，Q分別為AD₁、AC的中點，知PQ∥CD₁，由此能夠證明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）建立空間直角坐標系，求出E、F、P、Q，坐標利用空間兩點距離公式直接求EF的長，利用向量數量積求異面直線PQ，EF所成角的余弦值．

解答：解：（1）證明：如圖所示，連接AC，CD₁，
∵P，Q分別為AD₁、AC的中點，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體的棱長為a，所以D（0，0，0），E（

a

2

，a，0），F（0，

a

2

，a），P（

a

2

，0，

a

2

），Q（

a

2

，

a

2

，0），
所以

EF

=（-

a

2

，

a

2

，a）.

QP

=（0，-

a

2

，

a

2

），
所以EF的長：|

EF

|=

(- a 2 )2+( a 2 )2+a2

=

6

2

a．
異面直線PQ，EF所成角的余弦值：cosθ=

EF • QP

| EF || QP |

=

a 2 ×(- a 2 )+a× a 2

6 2 a× 2 2 a

=

3

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，空間兩點的距離公式．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．