Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=

π

2

，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥平面ABCD，E是線段AB的中點．
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（II）求二面角B-PA-C的大小．

Answer 1

分析：（I）取CD中點F，連接EF，欲證DE⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證DE與平面PAC內兩相交直線垂直，而DE⊥AC，PC⊥DE，滿足定理條件；
（II）以點C為坐標原點，分別以CD，CB，CP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，求出平面PAC的法向量

DE

和平面PAB的一個法向量為

n

，計算兩個法向量的夾角，即可求出二面角B-PA-C的大小．

解答：解：（I）取CD中點F，連接EF，
則EF⊥CD，EF=

1

2

(AD+BC)=2
∵AD=DF=1，CD=EF=2，∠CDA=∠EFD=90°
∴△CDA≌△EFD∴∠DAC=∠FDE
∵∠EDA+∠FDE=90°∴∠EDA+∠DAC=90°∴DE⊥AC（4分）
∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥DE∴DE⊥平面PAC（6分）
（II）以點C為坐標原點，分別以CD，CB，CP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，
則C（0，0，0），D（2，0，0），B（0，3，0），P（0，0，2），A（2，1，0），E（1，2，0）
∵DE⊥平面PAC∴平面PAC的一個法向量為

DE

=(-1，2，0)（8分）
設平面PAB的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
由

PA

=(2，1，-2)，

PB

=(0，3，-2)，
得

2x+y-2z=0 3y-2z=0

不妨令x=1，則y=1，z=

3

2

，
即

n

=(1，1，

3

2

)（10分）
∴cos＜

DE

，

n

＞=

(-1)•1+2•1+0• 3 2

5 • 17 2

=

2 85

85

∴二面角B-PA-C的大小為arccos

2 85

85

.（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及利用空間向量求二面角的大小，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．