Question

如圖，圓M與圓N交于A、B兩點，以A為切點作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C、D兩點，延長DB交圓M于點E，延長CB交圓N于點F，已知BC=5，BD=10，則AB=

 

；

CF

DE

=

 

．

Answer 1

分析：由已知條件中AC，AD均為切線，結合弦切角定理，我們不難得到△ABC∽△DBA，又由已知BC=5，BD=10，可以得到一個關于AB的方程，解方程即可求出AB的值．根據切割線定理我們知道，CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，根據△ABC∽△DBA，我們可得

CA

DA

的值，代入即可得到結果．

解答：解：根據弦切角定理，
知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，
故△ABC∽△DBA，
則

AB

DB

=

BC

BA

，
故AB2=BC•BD=50，AB=5

2

．
根據切割線定理，
知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，
兩式相除，
得

CA2

DA2

=

CB

DB

•

CF

DE

（*）．
由△ABC∽△DBA，
得

AC

DA

=

AB

DB

=

5 2

10

=

2

2

，

CA2

DA2

=

1

2

，
又

CB

DB

=

5

10

=

1

2

，
由（*）得

CF

DE

=1．
故答案為：5

2

，1

點評：本小題主要考查圓的切線及有關知識，如弦切角定理和切割線定理，以及分析問題與解決問題的能力、轉化與化歸的思想方法．在平面幾何中，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．