Question

如圖，圓M與圓N交于A、B兩點，以A為切點作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C、D兩點，延長DB交圓M于點E，延長CB交圓N于點F，已知BC=5，BD=10，則AB=    ；=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知條件中AC，AD均為切線，結合弦切角定理，我們不難得到△ABC∽△DBA，又由已知BC=5，BD=10，可以得到一個關于AB的方程，解方程即可求出AB的值．根據切割線定理我們知道，CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，根據△ABC∽△DBA，我們可得的值，代入即可得到結果．
解答：解：根據弦切角定理，
知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，
故△ABC∽△DBA，
則，
故．
根據切割線定理，
知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，
兩式相除，
得（*）．
由△ABC∽△DBA，
得，
，
又，
由（*）得．
故答案為：，1
點評：本小題主要考查圓的切線及有關知識，如弦切角定理和切割線定理，以及分析問題與解決問題的能力、轉化與化歸的思想方法．在平面幾何中，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．