Question

已知數列{a_n}中an≠0，(n≥1)，a1=

1

2

，前n項和S_n滿足：an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)
（1）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若b1=1，bn=

2(1-n)

n

an(n≥2)，S_n′為數列{b_n}的前n項和，求證：S_n′＜2．

Answer 1

分析：（1）由an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)，得S_n-S_n-1=

2Sn2

2Sn-1

，可化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），根據等差數列的定義可證明；
（2）由（1）可得

1

Sn

，進而得到S_n，根據an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（3）表示出b_n（n≥2），則S′_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，對各項分母進行適當放縮，然后利用裂項相消法化簡，可得結論；

解答：解：（1）∵an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)，
∴S_n-S_n-1=

2Sn2

2Sn-1

，即(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2Sn2，
所以S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
顯然，S_n≠0，否則由an=

2 S 2 n

2Sn-1

知a_n=0與a_n≠0矛盾．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），
又

1

S1

=

1

a1

=2，

1

S2

=4，

1

S2

-

1

S1

=2，
∴{

1

Sn

}是首項為2，公差為2的等差數列；
（2）由（1）可知：

1

Sn

=2+(n-1)×2=2n，∴Sn=

1

2n

，
①當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，
②當n=1時，a1=S1=

1

2

，
∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

；
（3）∵b₁=1，且由（2）知當n≥2時，bn=

2(1-n)

n

an=

2(1-n)

n

[-

1

2n(n-1)

]=

1

n2

，
∴S′_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=2-

1

n

＜2．

點評：本題考查數列與不等式的綜合、等差數列的判定及數列求和，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，能力要求較高．