Question

熱力公司為某生活小區鋪設暖氣管道，為減少熱量損耗，管道外表需要覆蓋保溫層，經測算要覆蓋可使用20年的保溫層，每厘米厚的保溫層材料成本為2萬元，小區每年的熱量損耗費用w（單位：萬元）與保溫層厚度x（單位：cm）滿足關系：w（x）=

k

2x+1

（0≤x≤10）．若不加保溫層，每年熱量損耗費用5萬元，設保溫層費用與20年的熱量損耗費用之和為f（x）．
（1）求k的值及f（x）的表達式；
（2）問保溫層多厚時，總費用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（1）因為不加保溫層，每年熱量損耗費用5萬元，所以將x=0時w=5代入w（x）求出參數k；求出保溫層的費用為2x；求出20年的熱量損耗費；將兩者加起來為f（x）
（2）將f（x）中的2x寫成（2x+1）-1，湊成乘積為定值；利用基本不等式求出f（x）的最小值，求出等號取到時對應的x的值．

解答：解：（1）由題意知：W（0）=5，?K=5，?f（x）=2x+

100

2x+1

（0≤x≤10）．
（2）∵f（x）=（2x+1）+

100

2x+1

-1≥20-1=19，當且僅當2x+1=

100

2x+1

，
即x=4.5時等號成立，
∴當保溫層為4.5cm時，總費用最小且為19萬元．

點評：本題考查將實際問題轉化為函數的最值問題、考查通過觀察在函數中湊出定值，利用基本不等式求出最值．注意利用基本不等式求函數最值需注意滿足的條件：一正、二定、三相等．