Question

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分三種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)可得，時(shí)恒成立，分別求出左邊的最大值與右邊的最小值即可.

（1）函數(shù)的定義域是.

.

（i）當(dāng)時(shí)，令，得；

令，得或，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，且不恒為0，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時(shí)，令，得；

令，得或，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增.

（2）等價(jià)于，得，得，

因?yàn)?/span>，所以.

所以不等式兩邊同時(shí)除以，得，

即，

得.

所以.

即對(duì)任意恒成立.

設(shè)，，，

則，.

所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

所以，.

所以.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.