Question

已知定點G（-3，0），S是圓C：（x-3）²+y²=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E．設點E的軌跡為M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線l，使得直線l與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6

2

的橢圓，進而可得橢圓M的方程；
（2）設直線l的方程為y=x+m，聯立橢圓方程后，利用韋達定理，及向量垂直的充要條件，求出m的范圍，根據二次方程根的個數與判斷式的關系，判斷后可得結論．

解答：解：（1）由題知|EG|=|ES|，所以|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6

2

．
又因為|GC|=6＜6

2

，所以點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6

2

的橢圓，
動點E的軌跡方程為

x2

18

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，其方程為y=x+m，
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

消去y，化簡得3x²+4mx+2m²-18=0．
直線l與曲線M相交于A，B兩點，
∴△=16m²-12（2m²-18）＞0
解得-3

3

＜m＜3

3

又由x1+x2=-

4m

3

，x1•x2=

2(m2-9)

3

．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，
所以

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0
又y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2，
x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=

4(m2-9)

3

-

4m2

3

+m2=0，
解得m=±2

3

由于±2

3

∈(-3

3

，3

3

)，
所以符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x+2

3

或y=x-2

3

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的軌跡問題，其中（1）的關鍵是熟練掌握橢圓的定義，（2）的關鍵是熟練掌握“聯立方程+設而不求+韋達定理+向量垂直的充要條件”是解答的關鍵．