Question

已知橢圓方程為x²+

y2

8

=1，射線y=2

2

x（x≥0）與橢圓的交點為M，過M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于A、B兩點（異于M）．
（1）求證直線AB的斜率為定值；
（2）求△AMB面積的最大值．

Answer 1

（1）∵斜率k存在，不妨設k＞0，求出M（

2

2

，2），
直線MA方程為y-2=k（x-

2

2

），直線MB方程為y-2=-k（x-

2

2

）．
分別與橢圓方程聯立，可解出x_A=

2 k2-4k

k2+8

-

2

2

，x_B=

2 k2+4k

k2+8

-

2

2

．
則y_A=2-k（x-

2

2

），y_B=2+k（x-

2

2

），
k_AB=

yA-yB

xA-xB

=2

2

；
∴k_AB=2

2

（定值）．
（2）設直線AB方程為y=2

2

x+m，與x²+

y2

8

=1聯立，消去y得16x²+4

2

mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，點M到AB的距離d=

|m|

3

．
設△AMB的面積為S．∴S²=

1

4

|AB|²d²=

1

32

m²（16-m²）≤

1

32

•(

16

2

)2=2．
當m=±2

2

時，得S_max=

2

．