Question

如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，側棱BB₁⊥底面ABCD，E是側棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求證：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證AC⊥BD與BB₁⊥AC，再證AC⊥平面BDD₁B₁
（Ⅱ）設AC，BD交于點O，取B₁D的中點F，連接OF，EF，先證OF∥CC₁與OF=CC₁，再證OC∥EF，再證AC∥平面B₁DE．

解答：證明：（Ⅰ）因為ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因為BB₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥AC，（3分）
所以AC⊥平面BDD₁B₁．（5分）
（Ⅱ）設AC，BD交于點O，取B₁D的中點F，連接OF，EF，
則OF∥BB₁，且OF=

1

2

BB1，
又E是側棱CC₁的中點，EC=

1

2

CC1，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，
所以OF∥CC₁，且OF=

1

2

CC1，（7分）
所以四邊形OCEF為平行四邊形，OC∥EF，（9分）
又AC∥平面B₁DE，EF∥平面B₁DE，（11分）
所以AC∥平面B₁DE．（13分）

點評：證明線面垂直的關鍵是在平面內找到兩條相交直線與已知直線垂直，在證明時要充分利用平面幾何的知識，以達到通過平面內的垂直關系證明空間中的垂直關系的目的．