Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：|f （x₁）-f （x₂）|≤

4

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

5

，建立方程，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)在[-1，1]上的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
∵x=1時，f（x）取極小值-

2

5

，
∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．
解得a=

1

5

，c=-

3

5

．
∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x…4
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使得結(jié)論成立．
假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由f′（x）=

3

5

（x²-1）知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k₁=

3

5

(

x

2 1

-1)，k₂=

3

5

(

x

2 2

-1)，且

9

25

(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0
∴（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）≥0 此與（*）矛盾，故假設(shè)不成立  …（8分）（文12分）
（Ⅲ）證明：f′（x）=

3

5

（x²-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（-1，1）時，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且f_max（x）=f（-1）=

2

5

，f_min（x）=f（1）=-

2

5

．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤

2

5

，于是x₁，x₂∈[-1，1]時，
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

5

+

2

5

=

4

5

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．