Question

求過直線2x＋y＋4＝0和圓x²＋y²＋2x－4y＋1＝0交點且面積最小的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　①過直線與圓的交點的圓的方程可用圓系方程處理． 　　②利用函數的思想進行思考． 　　解法一　　令過直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交點的圓系方程為：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋4λ＋1＝0 　　r＝ 　　＝ 　　當r＝時rmin所求方程為(x＋)2＋(y－)2＝ 　　解法二　　因直線和圓為固定，直線被已知圓截得弦長固定，所以圓的圓心到已知直線距離最小時所求圓的半徑最小．此時圓面積最小，所以當所求圓的圓心在直線2x＋y＋4＝0上時，圓的半徑最小． 　　令動圓的方程為：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圓心為(－(1＋λ)，)代入2x＋y－4＝0得： 　　－2(1＋λ)＋＋4＝0，λ＝代入動圓的方程為： 　　x2＋y2＋x－y＋＝0