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（2013•湖州二模）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，
PM
•
PN
的取值范圍是
[0，2]
[0，2]
．
分析：根據題意，可設M、N分別是內切球在正方體左、右側面的切點，運動點P并加以觀察，可得當P與正方體的某個頂點重合時，
PM
•
PN
達到最大值；當P與正方體某個面的中心重合時，
PM
•
PN
達到最小值．由此結合數量積的計算公式，即可得到數量積
PM
•
PN
的取值范圍．
解答：解：根據題意，MN是正方體內切球的最大弦長
∴MN是內切球的直徑
設M、N分別是內切球在正方體左、右側面的切點，如圖
方法1：當P在正方體表面運動，它與正方體的某個頂點重合時，
PM
•
PN
達到最大值．以C1點為例，此時
PM
•
PN
=
C1M
•
C1N
=
|C1M|
•
|C1N|
cos∠∠MC1N=
|C1N|
2=（
2
2
A
A
 
1
）2=2；
當點P與正方體某個面的中心重合時，
PM
•
PN
達到最小值．
此時
PM
⊥
PN
，得
PM
•
PN
=0
綜上所述，得數量積
PM
•
PN
的取值范圍為[0，2]
方法2：連接PO，可得
PM
•
PN
=（
PO
+
OM
）•（
PO
+
ON
）=
PO
2+
PO
•
ON
+
OM
•
PO
+
OM
•
ON

=
PO
2+
PO
•（
ON
+
OM
）+
OM
•
ON
=
PO
2-1
當|
PO
|達到最大值
3
時，
PM
•
PN
的最大值為2；當|
PO
|達到最小值1時，
PM
•
PN
的最小值為0．
綜上所述，得數量積
PM
•
PN
的取值范圍為[0，2]
故答案為：[0，2]
點評：本題給出正方體的內切球，求一個數量積的取值范圍．著重考查了平面向量數量積的運算和正方體的性質等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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9
9
．

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1
2
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n
p1+p2+…+pn
為n個正數p1，p2，…pn的“均倒數”．若已知數列{an}的前n項的“均倒數”為
1
2n+1
，又bn=
an+1
4
，則
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
b10b11
=（　　）

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