Question

設r，s，t為整數，集合{a|a=2^r+2^s+2^t，0≤t＜s＜r}中的數由小到大組成數列{a_n}．
（1）寫出數列{a_n}的前三項；
（2）求a₃₆．

Answer 1

分析：（1）由于r，s，t為整數，且0≤t＜s＜r，下面對r進行分類討論：r最小取2時，符合條件的數a有一個，當r=3時，符合條件有的數a有3個，由此求得數列{a_n}的前三項．
（2）同理可得r=4時，r=6時，r=7時，分別算出符合條件的數a的個數，最后利用加法原理計算即得．

解答：解：（1）∵r、s、t為整數且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此時符合條件的數a有

C

2 2

=1；…（4分）
當r=3時，s，t 可在0，1，2中取，符合條件有的數a有

C

2 3

=3；…（5分）
故數列{a_n}的前三項為：2⁰+2¹+2²=7，2⁰+2¹+2³=11，2⁰+2²+2³=13．
（2）同理，r=4時，符合條件有的數a有

C

2 4

=6；…（6分）
r=5時，符合條件有的數a有

C

2 5

=10；…（7分）
r=6時，符合條件有的數a有

C

2 6

=15；…（8分）
r=7時，符合條件有的數a有

C

2 7

=21；…（9分）
因此，a₃₆是r=7中的最小值，即 a₃₆=2⁰+2¹+2⁷=131．…（10分）

點評：本題主要考查兩個基本計數原理及數列的通項公式等基本概念，既要會合理分類，又要會合理分步，一般是先分類，后分步．