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已知結論:“在三邊長都相等的△ABC中,若D是BC的中點,G是△ABC外接圓的圓心,則
AG
GD
=2
”.若把該結論推廣到空間,則有結論:“在六條棱長都相等的四面體ABCD中,若M是△BCD的三邊中線的交點,O為四面體ABCD外接球的球心,則
AO
OM
=
 
分析:設正四面體ABCD邊長為1,易求得AM=
6
3
,又因為O為四面體ABCD外接球的球心,結合四面體各條棱長都為1,可得O到四面體各面的距離都相等,所以O也是為四面體的內切球的球心,設內切球半徑為r,則有r=
3V
S
,可求得r即OM,從而結果可求.
解答:解:設正四面體ABCD邊長為1,易求得AM=
6
3
,又
∵O為四面體ABCD外接球的球心,結合四面體各條棱長都為1,
∴O到四面體各面的距離都相等,O為四面體的內切球的球心,
設內切球半徑為r,
則有四面體的體積V=4•
1
3
3
4
r=
2
12

∴r=
2
12
3
3
=
6
12
,即OM=
6
12

所以AO=AM-OM=
6
4
,所以
AO
OM
=3
故答案為:3
點評:本題考查類比推理知識,由平面到空間的類比是經常考查的知識,要認真體會其中的類比方式.
練習冊系列答案
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已知結論:“在三邊長都相等的△ABC,DBC的中點,G是△ABC外接圓的圓心,=2.若把該結論推廣到空間,則有結論:“在六條棱長都相等的四面體ABCD,M是△BCD的三邊中線的交點,O為四面體ABCD外接球的球心,=     .

 

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已知結論:“在三邊長都相等的中,若的中點,外接圓的圓心,則”.若把該結論推廣到空間,則有結論:“在六條棱長都相等的四面體中,若的三邊中線的交點,為四面體外接球的球心,則            ”

 

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已知結論:“在三邊長都相等的△ABC中,若D是BC的中點,G是△ABC外接圓的圓心,則
AG
GD
=2
”.若把該結論推廣到空間,則有結論:“在六條棱長都相等的四面體ABCD中,若M是△BCD的三邊中線的交點,O為四面體ABCD外接球的球心,則
AO
OM
=______.

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年江蘇省常州市溧陽市埭頭中學高二(下)段考數學試卷(1)(解析版) 題型:填空題

已知結論:“在三邊長都相等的△ABC中,若D是BC的中點,G是△ABC外接圓的圓心,則”.若把該結論推廣到空間,則有結論:“在六條棱長都相等的四面體ABCD中,若M是△BCD的三邊中線的交點,O為四面體ABCD外接球的球心,則=   

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