Question

已知結論：“在三邊長都相等的△ABC中，若D是BC的中點，G是△ABC外接圓的圓心，則

AG

GD

=2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在六條棱長都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則

AO

OM

=

 

．

Answer 1

分析：設正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=

6

3

，又因為O為四面體ABCD外接球的球心，結合四面體各條棱長都為1，可得O到四面體各面的距離都相等，所以O也是為四面體的內切球的球心，設內切球半徑為r，則有r=

3V

S表

，可求得r即OM，從而結果可求．

解答：解：設正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=

6

3

，又
∵O為四面體ABCD外接球的球心，結合四面體各條棱長都為1，
∴O到四面體各面的距離都相等，O為四面體的內切球的球心，
設內切球半徑為r，
則有四面體的體積V=4•

1

3

•

3

4

r=

2

12

，
∴r=

2 12

3 3

=

6

12

，即OM=

6

12

，
所以AO=AM-OM=

6

4

，所以

AO

OM

=3
故答案為：3

點評：本題考查類比推理知識，由平面到空間的類比是經常考查的知識，要認真體會其中的類比方式．