Question

若雙曲線C₁與橢圓

x2

16

+

y2

25

=1有相同的焦點，與雙曲線C₂：

x2

2

-y2=1有相同漸近線．
（1）求C₂的實軸長和漸近線方程；
（2）求C₁的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得C₂中：a=

2

，b=1，進而可得所求；
（2）法一：設所求的雙曲線的方程為y2-

x2

2

=λ(λ＞0)，由題意可得關于λ的方程，解之可得；
法二：設C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可得

c=3 a b = 2 2 c2=a2+b2

，解之可得a，b，可得方程．

解答：解：（1）由題意可得C₂中：a=

2

，b=1，
故實軸長為2a=2

2

，漸近線方程y=±

b

a

x=±

2

2

x；…（5分）
（2）法一：依題意可設所求的雙曲線的方程為y2-

x2

2

=λ(λ＞0)…（6分）
即

y2

λ

-

x2

2λ

=1…（7分）
又∵雙曲線與橢圓

x2

16

+

y2

25

=1有相同的焦點，
∴λ+2λ=25-16=9解得λ=3…（11分）
∴C₁的標準方程為

y2

3

-

x2

6

=1…（13分）
法二：設C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，…（6分）
可得

c=3 a b = 2 2 c2=a2+b2

求得 

a2=3 b2=6

…（11分）
∴C₁的標準方程為

y2

3

-

x2

6

=1…（13分）

點評：本題考查雙曲線與橢圓的簡單性質，涉及圓錐曲線的基本運算，屬中檔題．