Question

已知：如圖，MN為圓的直徑，P、C為圓上兩點，連PM、PN，過C作MN的垂線與MN、MP和NP的延長線依次相交于A、B、D，求證：AC²=AB•AD．

Answer 1

證明：在△ABM與△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC²=AM•AN②
由①，②得AC²=AB•AD．
分析：首先用兩個角對應相等證明兩個三角形相似，在相似三角形中寫出對應邊成比例，又根據直角三角形的射影定理，得到比例式，結合兩個比例式，得到要證明的結論．
點評：本題考查相似三角形的證明和性質，考查直角三角形的射影定理，是一個證明對應線段成比例的問題，是一個基礎題．