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已知如圖，圓C的圓心在拋物線x²=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
設AM=l₁，AN=l₂，求

的取值范圍．

分析：設∠MAN=θ，由題意知l1l2=

2p2

sinθ

，l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

tanθ

)．所以

l1l2

4p2(1+

tanθ

)sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

sin(θ+45°)．由此可知當且僅當θ=45°時，原式有最大值2

，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，從而

的取值范圍．

解答：解：設∠MAN=θ，
因為S△MAN=

l1•l2•sinθ=

OA•MN=p2，
所以l1l2=

2p2

sinθ

，因為l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4p²，
所以l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

tanθ

)．
所以

l1l2

4p2(1+

tanθ

)sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

sin(θ+45°)．
因為0＜θ≤90⁰，所以當且僅當θ=45°時，原式有最大值2

，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，從而

的取值范圍為[2，2

]．

點評：本題考查圓錐曲線的位置關系和應用，解題時要認真審題和仔細解答．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知圓C的圓心坐標為（1，-1），且過點M（2，-1）．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點N（-1，-2）且斜率為1的直線l與圓C相交于A、B兩點，求線段AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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