Question

【題目】已知命題函數在上單調遞減；命題曲線為雙曲線．

（Ⅰ）若“且”為真命題，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若“或”為真命題，“且”為假命題，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（I）對函數求導，利用分離常數法求得命題中的取值范圍，利用雙曲線的標準方程的概念求得命題中的取值范圍. 若“且”為真命題則均為真命題，求中兩個的取值范圍的交集，得到題目所求的取值范圍.（II）若“或”為真命題，“且”為假命題，則一真一假，分別根據“真假”或者“假真”兩類，結合（I）的數據，求得實數的取值范圍.

（Ⅰ）若為真命題，在恒成立，即在恒成立，∵在的最大值是3， ①

若為真命題，則，解得，②

若“且”為真命題，即，均為真命題，所以，解得，

綜上所述，若“且”為真命題，則實數的取值范圍為；

（Ⅱ）若“或”為真命題，“且”為假命題，即，一真一假，

當真假時，，解得，

當假真時，，解得，

綜上所述，實數的取值范圍為．