Question

【題目】已知點和圓，過的動直線與圓交于、兩點，過作直線，交于點．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若不經過的直線與軌跡交于兩點，且.求證：直線 恒過定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）詳見解析

【解析】

（I）由題意可得是等腰三角形，即，再圓的性質和橢圓定義，即可求解的值，得出橢圓的方程；

（II）設，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，又由，整理求得解得，進而判定處直線過定點問題.

（I）由，知是等腰三角形，即.

，

點軌跡是以為焦點的橢圓，

，故，

因此點的軌跡 .

（II）設，則

聯立

則①，又由知：

，

，

將①式代入并化簡得：，解得.

當時，直線恒過，不滿足題意；

當時，直線恒過定點.

當直線與橫軸垂直時，令，，

，化簡得，

解得或（舍去），，即此時也有直線過定點.

綜上可知，當，直線過定點.