Question

直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，若AB，AD，AC成等比數(shù)列，則∠ADC等于

π

6

或

5π

6

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，若AB，AD，AC成等比數(shù)列，得出AD²=AB×AC，由此等式接合三角形面積公式建立起∠ADC的正弦的方程，求出其正弦值，再求角

解答：解：由題意AB，AD，AC成等比數(shù)列得AD²=AB×AC
又直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD²=

1

4

BC²，
又AB×AC=2S_ABC=4S_ADC=4×

1

2

AD×DC×sin∠ADC=4×

1

2

×

1

2

BC×

1

2

BC×sin∠ADC=

1

2

BC²sin∠ADC
∴

1

4

BC²=

1

2

BC²sin∠ADC
∴sin∠ADC=

1

2

∴∠ADC=

π

6

或

5π

6

故答案為：

π

6

或

5π

6

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與三角的綜合，解題的關(guān)鍵是理解題意根據(jù)直角三角形中的性質(zhì)建立起關(guān)于sin∠ADC的方程求出角的正弦值從而得到角的值，本題考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想以及根據(jù)所建立的方程進(jìn)行運(yùn)算求值的能力，本題通過面積建立方程，由于高中數(shù)學(xué)中利用此關(guān)系建立等式不太常用，且題設(shè)中的條件形式看似利于用余弦定理的知識建立方程導(dǎo)致方法不易尋到，對學(xué)過的知識牢固掌握，對面對的習(xí)題有著全面的理解，可以避免這種失誤