Question

已知函數

（1）若對任意的恒成立，求實數的最小值.

（2）若且關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（3）設各項為正的數列滿足：求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）；  （2）  ；   （3）

【解析】

試題分析：（I）依題意，對任意的恒成立，即在x1恒成立．則a.

而0，所以，在是減函數，最大值為1，所以，，實數的最小值。

（II）因為，且在上恰有兩個不相等的實數根，

即在上恰有兩個不相等的實數根，

設g（x）=，則g'（x）=

列表：

X	(0,)		(,2)	2	(2,4)
	+	0	-	0	+
	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以，g（x）極大值=g（）=-ln2-b，g（x）極大值=g（2）=ln2-b-2，，g（4）=2ln2-b-1

因為，方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．

則，解得．

（III）設h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），則h'（x）=-1≤0

∴h（x）在[1，+∞）為減函數，且h（x）_max=h（1）=0，故當x≥1時有lnx≤x-1．

∵a₁=1，假設a_k≥1（k∈N^*），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）

從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）

即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極（最）值，研究函數的圖象和性質，數列不等式的證明。

點評：難題，不等式恒成立問題，常常轉化成求函數的最值問題。（II）（III）兩小題，均是通過構造函數，研究函數的單調性、極值（最值），認識函數圖象的變化形態等，尋求得到解題途徑。有一定技巧性，對學生要求較高。