Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB=2，點E在棱AB上移動．

(Ⅰ)證明：D₁E⊥A₁D；

(Ⅱ)當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

(Ⅲ)AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E 

（Ⅱ）設點E到面ACD₁的距離為h,

在△ACD₁中，AC=CD₁=,AD₁=,

故=,

而S_△ACE=.

∴=S_△AEC·DD₁=,

∴×h,∴h=. 

（Ⅲ）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角.

設AE=x,則BE=2-x

在Rt△D₁DH中，∵∠DHD₁=,∴DH=1.

∵在Rt△ADE中，DE=,∴在Rt△DHE中，EH=x,在Rt△DHC中CH=,在Rt△CBE中CE=.

∴x+. 

∴AE=2-時，二面角D₁-EC-D的大小為. 

解法二：以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，

設AE=x,則A₁（1，0，1）,D₁(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

(Ⅰ)因為=(1,0,1),(1,x-1)=0,所以. 

（Ⅱ）因為E為AB的中點，則E(1,1,0),從而=(1,1,-1), =(-1,2,0),=(-1,0,1),設平面ACD₁的法向量為n=(a,b,c),則

也即,從而n=(2,1,2),

所以點E到平面AD₁C的距離為

h=. 

(Ⅲ)設平面D₁EC的法向量n=(a,b,c),

∴=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1),

由

令b=1,∴c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2).

依題意cos.

∴x₁=2+（不合，舍去），x₂=2-.

∴AE=2-時，二面角D₁-EC-D的大小為.