Question

已知函數y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過如下變換得到：
①將y=sinx的圖象的縱坐標保持不變，橫坐標縮短為原來的

2

π

；
②將①中的圖象整體向左平移

2

3

個單位；
③將②中的圖象的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的

3

倍．
（Ⅰ）求f（x）的周期和單調減區間
（Ⅱ）函數f（x）的部分圖象如圖所示，若直線x-2y-

4

3

=0與函數y=f（x）的圖象交于A，B，C三點，試求：

OC

•(

OA

+

OB

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象變換的知識可得f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），易得周期和單調遞減區間；（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可得C（

4

3

，0），易知C恰好為函數f（x）圖象的一個對稱中心，可得x₁+x₂=

8

3

，y₁+y₂=0，由向量的坐標運算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由圖象變換的知識可得：y=sinx的圖象經過①的變換可得到y=sin

π

2

x的圖象，
再經過②的變換可得到y=sin

π

2

(x+

2

3

)的圖象，經過③的變換后得到y=

3

sin

π

2

(x+

2

3

)的圖象，
∴y=f（x）=

3

sin

π

2

(x+

2

3

)=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
∴周期T=

2π

π 2

=4，由2kπ+

π

2

≤

π

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得4k+

1

3

≤x≤4k+

7

3

，
∴函數f（x）的單調遞減區間為：[4k+

1

3

，4k+

7

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知C為直線x-2y-

4

3

=0與x軸的交點，故C（

4

3

，0），
易知C恰好為函數f（x）圖象的一個對稱中心，
故x₁+x₂=

8

3

，y₁+y₂=0，
∴

OC

•(

OA

+

OB

)=（

4

3

，0）•（

8

3

，0）=

32

9

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及三角函數圖象的變換和單調性，屬中檔題．