Question

如圖，G是△ABC的重心，求證：

GA

+

GB

+

GC

=

0

．

Answer 1

分析：如圖（1）
要證

GA

+

GB

+

GC

=

0

，只需證

GB

+

GC

=-

GA

，即只需證

GB

+

GC

與

GA

互為相反的向量．
如圖（2）
由三角形的重心G，構造平行四邊形BGCE，得對角線AC，GE；易得出

GB

+

GC

=

GE

=2

GD

，又

AG

=

GE

=2 

GD

，

GA

=- 2

GD

所以，

GA

+

GB

+

GC

=-2

GD

+2

GD

=

0

．即證．

解答：證明：如圖（3），以向量

GB

、

GC

為鄰邊作平行四邊形BGCE，則

GB

+

GC

=

GE

=2

GD

．
又因為點G為△ABC的重心，
所以

AG

=

GE

=2

GD

，從而

GA

=-2

GD

．
∴

GA

+

GB

+

GC

=-2

GD

+2

GD

=

0

．
圖（3）

點評：向量的加法可以用幾何法進行．正確理解向量的各種運算的幾何意義，能進一步加深對“向量”的認識，并能體會用向量處理問題的優越性．